Trigonometria

Valori Notevoli

📌 Tabella da Memorizzare

θ	Rad	sin θ	cos θ	tan θ
0°	0	0	1	0
30°	π/6	1/2	√3/2	1/√3
45°	π/4	√2/2	√2/2	1
60°	π/3	√3/2	1/2	√3
90°	π/2	1	0	∞
120°	2π/3	√3/2	−1/2	−√3
135°	3π/4	√2/2	−√2/2	−1
150°	5π/6	1/2	−√3/2	−1/√3
180°	π	0	−1	0
270°	3π/2	−1	0	∞
360°	2π	0	1	0

💡

Trucco di memoria per sin(0°→90°):
sin(0°)=√0/2=0, sin(30°)=√1/2=½, sin(45°)=√2/2, sin(60°)=√3/2, sin(90°)=√4/2=1
→ leggi √0,√1,√2,√3,√4 diviso 2!

📐 Circonferenza Goniometrica — Interattiva

Trascina l'angolo sul cerchio

Clicca o trascina sulla circonferenza per vedere sin, cos, tan aggiornati in tempo reale.

📌 cos = proiezione sull'asse x (segmento orizzontale blu)
sin = proiezione sull'asse y (segmento verticale rosa)
tan = segmento sulla tangente verticale (giallo)

📌 Regole di Simmetria e Riduzione — Essenziali al TOLC

Angoli supplementari (π−θ):

sin(π−θ) = sin θ
cos(π−θ) = −cos θ
tan(π−θ) = −tan θ

Es: sin(150°)=sin(30°)=½

Angoli opposti (−θ):

sin(−θ) = −sin θ
cos(−θ) = cos θ
tan(−θ) = −tan θ

sin è dispari, cos è pari!

Angolo + π/2 (complementare):

sin(π/2−θ) = cos θ
cos(π/2−θ) = sin θ
sin(π/2+θ) = cos θ

sin e cos si scambiano!

⚠️ Regola degli angoli nel 2°, 3°, 4° quadrante: il segno dipende dal quadrante, il valore assoluto dall'angolo acuto associato. Es: cos(210°) = −cos(30°) = −√3/2 (3° quadrante, cos negativo).

Identità Fondamentali

📌 Identità Pitagorica e Derivate

L'identità principale — vale sempre, per ogni θ:

sin²θ + cos²θ = 1

Da essa si ricavano due forme utili:

sin²θ = 1 − cos²θ
cos²θ = 1 − sin²θ

Dividendo per cos²θ:

tan²θ + 1 = 1/cos²θ = sec²θ

Dividendo per sin²θ:

1 + cot²θ = 1/sin²θ = csc²θ

⚠️ Errore comune: sin²θ + cos²θ ≠ sin θ + cos θ. Le potenze sono fuori dalla funzione: (sin θ)² + (cos θ)² = 1.

📝 Uso tipico al TOLC:

Dato sin θ = 3/5, trovare cos θ (con θ nel 1° quadrante):

cos²θ = 1 − 9/25 = 16/25 → cos θ = 4/5

📌 Altre Identità e Relazioni

Definizione di tangente:

tan θ = sin θ / cos θ (cos θ ≠ 0)

Formule di abbassamento del grado (da duplicazione):

sin²θ = (1 − cos 2θ) / 2
cos²θ = (1 + cos 2θ) / 2

💡 Le formule di abbassamento del grado trasformano potenze di sin e cos in funzioni di angoli doppi — utilissime negli integrali e nelle equazioni.

Segni per quadrante:

💡 Mnemonica CAST (da IV→I→II→III): Cos, All, Sin, Tan sono positivi.

Formule di Addizione, Duplicazione, Bisezione

📌 Formule di Addizione

Valgono per qualsiasi α e β:

sin(α±β) = sinα·cosβ ± cosα·sinβ

cos(α±β) = cosα·cosβ ∓ sinα·sinβ

tan(α±β) = (tanα ± tanβ) / (1 ∓ tanα·tanβ)

⚠️ Nel cos il segno si inverte: cos(α+β) usa − tra i termini, cos(α−β) usa +. Nel sin il segno è uguale al segno di ±β.

📝 Esempio: sin(75°) = sin(45°+30°)

= sin45·cos30 + cos45·sin30
= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2)
= √6/4 + √2/4 = (√6+√2)/4

📌 Formule di Duplicazione

Si ottengono ponendo β = α nelle formule di addizione:

sin(2α) = 2·sinα·cosα

cos(2α) = cos²α − sin²α
= 2cos²α − 1
= 1 − 2sin²α

tan(2α) = 2tanα / (1 − tan²α)

💡 Esistono 3 forme per cos(2α): tutte equivalenti grazie a sin²+cos²=1. Quella utile dipende da cosa sai: se conosci solo sin, usa 1−2sin²α.

📝 Esempio: cos(2α) dato sin α=3/5

cos(2α) = 1−2sin²α = 1−2(9/25) = 1−18/25 = 7/25

📌 Formule di Bisezione (o Parametriche)

Ponendo t = tan(α/2), si esprimono sin α, cos α in funzione di t:

sin α = 2t / (1 + t²)

cos α = (1 − t²) / (1 + t²)

tan α = 2t / (1 − t²)

💡 Le formule di bisezione si usano soprattutto per risolvere equazioni trigonometriche che contengono sia sin che cos — trasformano tutto in un'equazione algebrica in t.

Forma inversa — dimezzamento dell'angolo:

sin(α/2) = ±√((1−cosα)/2)

cos(α/2) = ±√((1+cosα)/2)

tan(α/2) = sinα/(1+cosα) = (1−cosα)/sinα

⚠️ Il segno ± dipende dal quadrante in cui si trova α/2. Verificare sempre!

Grafici di sin, cos, tan

📐 Grafico Interattivo — y = A·sin(Bx + C)

Funzione

A (ampiezza)1

B (periodo) 1

C (fase) 0

sin x

Periodo: 2π
Ampiezza: 1
Dom: ℝ
Im: [−1, 1]

Passa per (0,0). Massimo in π/2, minimo in 3π/2.

📌 sin è dispari: il grafico ha simmetria rispetto all'origine.

cos x

Periodo: 2π
Ampiezza: 1
Dom: ℝ
Im: [−1, 1]

Massimo in 0 e 2π, minimo in π. Come sin ma traslato di π/2.

📌 cos è pari: il grafico è simmetrico rispetto all'asse y. cos x = sin(x+π/2).

tan x

Periodo: π
Ampiezza: ∞
Dom: x ≠ π/2+kπ
Im: ℝ

Ha asintoti verticali in π/2 + kπ. Cresce sempre (strettamente).

⚠️ tan ha periodo π, non 2π! La metà di sin e cos.

Equazioni Trigonometriche

sin x = k (|k|≤1)

Esiste soluzione solo se −1 ≤ k ≤ 1.

x = arcsin(k) + 2kπ
oppure
x = π − arcsin(k) + 2kπ

Due famiglie di soluzioni: una nel 1° quadrante, una nel 2° (o 3° se k<0).

💡 Il grafico di sin=k è 2 punti per periodo (tranne k=±1, dove è 1 solo punto).

Esempio: sin x = ½

x = π/6 + 2kπ
x = 5π/6 + 2kπ

cos x = k (|k|≤1)

Anche qui serve |k| ≤ 1.

x = ±arccos(k) + 2kπ

Una sola formula con ± — simmetrico rispetto all'asse y del grafico.

💡 cos ha simmetria pari: se x₀ è soluzione, anche −x₀ lo è. Da qui il ±.

Esempio: cos x = √3/2

x = ±π/6 + 2kπ

Cioè x = π/6 oppure x = −π/6 (= 11π/6)

tan x = k (k∈ℝ)

Esiste sempre — per ogni k reale.

x = arctan(k) + kπ

Una sola famiglia di soluzioni, con periodo π (non 2π!).

⚠️ tan ha periodo π: si sommano kπ, non 2kπ. Errore classicissimo!

Esempio: tan x = 1

x = π/4 + kπ

Soluzioni: π/4, 5π/4, −3π/4, ...

📐 Visualizzazione — Soluzioni di sin x = k, cos x = k, tan x = k

Funzione

k = 0.5

📌 I punti gialli sono le intersezioni con y=k nell'intervallo [−2π, 2π]. Ogni punto è una soluzione.

📌 Casi Speciali Importanti al TOLC

sin x = 0:

x = kπ (k∈ℤ)

cos x = 0:

x = π/2 + kπ

sin x = 1:

x = π/2 + 2kπ

cos x = 1:

x = 2kπ

sin x = −1:

x = 3π/2 + 2kπ

cos x = −1:

x = π + 2kπ

⚠️ Se |k| > 1, l'equazione sin x = k (o cos x = k) è impossibile — sin e cos sono sempre compresi tra −1 e 1. tan x = k ha sempre soluzioni (k ∈ ℝ).

🔁 Ripasso Rapido — Tutte le Formule

Identità

sin²θ+cos²θ=1
tan θ=sin/cos
tan²θ+1=1/cos²θ

Addizione

sin(α±β)=s·c±c·s
cos(α±β)=c·c∓s·s
segno cos si inverte!

Duplicazione

sin2α=2sinαcosα
cos2α=cos²α−sin²α
=1−2sin²α

Valori 30-45-60

sin30=½ cos30=√3/2
sin45=√2/2 cos45=√2/2
sin60=√3/2 cos60=½

Grafici

sin,cos: periodo2π
tan: periodoπ
sin,cos: Im[−1,1]

Equazioni sin

sin x=k → x=arcsin(k)+2kπ
oppure x=π−arcsin(k)+2kπ

Equazioni cos

cos x=k → x=±arccos(k)+2kπ

Equazioni tan

tan x=k → x=arctan(k)+kπ
periodo: π (non 2π!)

🎯

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