Statistica e Combinatoria

Combinatoria

📌 Il Fattoriale — Fondamento di tutto

Il fattoriale di n è il prodotto di tutti gli interi da 1 a n:

n! = n · (n−1) · (n−2) · … · 2 · 1

0! = 1 ← per definizione, fondamentale!

n	n!	Note
0	1	per definizione
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
10	3 628 800

⚠️ Crescita esplosiva: 10! ≈ 3.6 milioni. Nei calcoli al TOLC-I si può quasi sempre semplificare prima di moltiplicare tutto.

Calcolatore interattivo:

n = 4

Scomposizione di n!

💡 Semplificazione rapida: n! / (n−k)! = n·(n−1)·…·(n−k+1) — basta i primi k fattori, il resto si cancella!

📌 Permutazioni — Pₙ

Quanti modi ci sono di ordinare n oggetti distinti?

Pₙ = n!

📌 L'ordine conta: ABC ≠ BAC ≠ CAB. Con 3 oggetti: 3! = 6 ordini possibili.

📝 Esempi:

→ In quanti modi si possono disporre 5 persone in fila? 5! = 120
→ Quante "parole" di 4 lettere distinte si formano con {A,B,C,D}? 4! = 24

Permutazioni con oggetti ripetuti:

Se tra gli n oggetti ce ne sono n₁ uguali, n₂ uguali, ... :

P = n! / (n₁! · n₂! · …)

Esempio: anagrammi di "MAMMA" (3 M, 2 A):

5! / (3!·2!) = 120/12 = 10

📌 Disposizioni — Dₙₖ

Quanti modi di scegliere k oggetti da n e ordinarli? (l'ordine conta, senza ripetizione)

Dₙₖ = n! / (n−k)!

💡 Disposizioni = Permutazioni parziali. Pₙ = Dₙₙ (caso particolare con k=n).

📝 Esempio:

In quanti modi si possono assegnare oro, argento, bronzo a 10 atleti?

D₁₀₃ = 10!/(10−3)! = 10·9·8 = 720

Disposizioni con ripetizione:

Se posso scegliere lo stesso oggetto più volte:

Dₙₖ(rep) = nᵏ

Esempio: PIN di 4 cifre (0-9): 10⁴ = 10000

⚠️ Con ripetizione si usa nᵏ, senza ripetizione si usa n!/(n−k)!. La parola chiave è "distinguibili" o "senza rimpiazzo".

📌 Combinazioni — C(n,k) = "n su k"

Quanti modi di scegliere k oggetti da n senza che l'ordine conti?

C(n,k) = n! / [k! · (n−k)!]

= Dₙₖ / k! ← dividi le disposizioni per k!

La logica: le Disposizioni contano anche l'ordine, le Combinazioni no — quindi dividiamo per il numero di ordini possibili dei k oggetti scelti, che è k!.

📌

Proprietà utili:
C(n,0) = C(n,n) = 1
C(n,1) = n
C(n,k) = C(n, n−k) ← simmetria!

📝 Esempi tipici TOLC-I:

Lotto (6 su 90): C(90,6) = enorme
Poker (5 da 52): C(52,5) = 2 598 960
Commissione di 3 da 8 persone:
C(8,3) = 8!/(3!·5!) = 56

⚠️ C(8,3) = C(8,5). Usa la forma più piccola per calcolare: C(8,3) è più veloce di C(8,5) perché k=3 < k=5.

Triangolo di Pascal — C(n,k) visivamente:

Ogni cella = somma delle due sopra

💡 Formula ricorsiva: C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k). Ogni cella è la somma dei due numeri sopra di essa.

🔢 Calcolatore Interattivo — P, D, C

n = k =

🎯

Domanda guida:
L'ordine conta? → Disposizioni o Permutazioni
L'ordine NON conta? → Combinazioni
Tutti gli oggetti? → Permutazioni

Statistica Descrittiva

📌 Media, Mediana, Moda

Dato un campione di n valori x₁, x₂, …, xₙ:

Media: x̄ = (x₁+x₂+…+xₙ) / n = Σxᵢ / n

📌 Mediana = valore centrale (dati ordinati). Con n pari → media dei due centrali. Con n dispari → il valore centrale.

📌 Moda = valore che compare più spesso. Un insieme può avere 0, 1 o più mode.

📝 Esempio completo:

Dati: {3, 7, 7, 2, 9, 4, 7}

Media: (3+7+7+2+9+4+7)/7 = 39/7 ≈ 5.57
Ordinati: {2,3,4,7,7,7,9}
Mediana: 7 (4° valore, n=7 dispari)
Moda: 7 (compare 3 volte)

⚠️ Media ≠ Mediana in generale! La media è sensibile agli outlier (valori estremi), la mediana no.

📌 Varianza e Deviazione Standard

Misurano la dispersione dei dati intorno alla media:

Varianza: σ² = Σ(xᵢ − x̄)² / n

Dev.Std: σ = √(varianza) = √(Σ(xᵢ−x̄)²/n)

💡

Formula alternativa (più veloce):
σ² = (Σxᵢ²)/n − x̄²
Media dei quadrati meno quadrato della media.

📝 Esempio: {2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9}

n=8, x̄ = 40/8 = 5
Σ(xᵢ−x̄)² = 9+1+1+1+0+0+4+16 = 32
σ² = 32/8 = 4
σ = √4 = 2

📌 σ=0 → tutti i dati sono uguali (nessuna dispersione). σ grande → dati molto sparsi.

⚠️ Varianza e deviazione standard sono sempre ≥ 0. La varianza è in unità², la deviazione standard è nelle stesse unità dei dati.

🔢 Calcolatore Statistico Interattivo

Inserisci i dati separati da virgola (es: 3,7,2,9,4):

Dot plot con media e ±σ

Lettura di Istogrammi e Diagrammi

📌 Istogramma — Come Leggerlo

L'istogramma mostra la distribuzione di frequenza di dati raggruppati in classi (intervalli).

→Asse x: valori o classi di valori
→Asse y: frequenza assoluta (quante volte) o relativa (%)
→Area barra: proporzionale alla frequenza nella classe
→Barre adiacenti: classi continue (non distaccate)

⚠️ In un istogramma con classi di ampiezza diversa, sull'asse y va la densità di frequenza (f/ampiezza), non la frequenza! Al TOLC le classi sono quasi sempre uguali.

📌 La somma di tutte le frequenze = n (totale osservazioni). Le frequenze relative sommano a 1 (= 100%).

📐 Istogramma Interattivo — Punteggi Esame

Passa il mouse sulle barre per vedere i dettagli della classe.

📐 Diagramma a Torta — Frequenze Relative

Usato per mostrare le proporzioni. Ogni settore ha ampiezza angolare = 360° × (frequenza relativa).

📌 Al TOLC: "il settore A occupa 90° → quale percentuale?" → 90/360 = 25%. Sempre proporzione diretta.

📌 Cosa Leggere da un Grafico al TOLC

Domanda tipica	Come rispondere
Classe più frequente	Barra più alta
Frequenza di una classe	Leggi altezza barra
% su totale	Freq./totale × 100
Mediana da istogramma	Classe che supera il 50% cumulato
Quanti in tot. ≥ soglia	Somma barre a destra
Angolo in torta → %	Angolo/360 × 100

⚠️ Controlla sempre se le scale degli assi partono da zero o da un altro valore — una scala troncata può ingannare la percezione visiva delle proporzioni!

💡 Frequenza cumulata: somma progressiva delle frequenze da sinistra. Utile per trovare mediana e percentili.

🔁 Ripasso Rapido — Tutte le Formule

Permutazioni

Pₙ = n!
Con ripetuti: n!/(n₁!·n₂!…)
Ordine: conta, tutti gli n

Disposizioni

Dₙₖ = n!/(n−k)!
Con ripet.: nᵏ
Ordine: conta, scelgo k

Combinazioni

C(n,k) = n!/[k!(n−k)!]
C(n,k)=C(n,n−k)
Ordine: NON conta

Media e Mediana

x̄ = Σxᵢ/n
Mediana: valore centrale
Moda: più frequente

Varianza/Std

σ² = Σ(xᵢ−x̄)²/n
oppure Σxᵢ²/n − x̄²
σ = √(σ²) ≥ 0

Grafici

Istogramma: barra=frequenza
Torta: angolo/360=%
Somma freq.rel.=1

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