Ragionamento Logico

Sillogismi e Deduzione

📌 Struttura del Sillogismo

Un sillogismo ha due premesse e una conclusione che segue logicamente:

Forma classica (Barbara)

P1: Tutti gli A sono B

P2: Tutti i B sono C

∴ C: Tutti gli A sono C

Esempio concreto

P1: Tutti i mammiferi sono vertebrati

P2: Tutti i cani sono mammiferi

∴ Tutti i cani sono vertebrati ✅

📌 Un ragionamento è valido se la conclusione segue necessariamente dalle premesse. È vero se le premesse sono anche vere nel mondo reale. Può essere valido ma falso!

📌 Forme Valide e Fallacie

Modus Ponens (valido ✅)

P1: Se piove, l'asfalto è bagnato

P2: Piove

∴ L'asfalto è bagnato ✅

Modus Tollens (valido ✅)

P1: Se piove, l'asfalto è bagnato

P2: L'asfalto NON è bagnato

∴ NON piove ✅

Affermazione del conseguente ❌ FALLACIA

P1: Se piove, l'asfalto è bagnato

P2: L'asfalto è bagnato

∴ Piove ❌ (potrebbe essere il giardiniere!)

⚠️ La fallacia più comune al TOLC: da "Se A allora B" e "B è vero" NON si può concludere "A è vero". Il viceversa NON vale!

📐 Pratica — Valuta i Sillogismi

Proposizioni: AND, OR, NOT, Implicazione

📌 Connettivi Logici

Connettivo	Simbolo	Nome	Vero quando
NOT A	¬A / ~A	Negazione	A è falso
A AND B	A ∧ B	Congiunzione	Entrambi veri
A OR B	A ∨ B	Disgiunzione	Almeno uno vero
A → B	A ⇒ B	Implicazione	A vero, B vero (o A falso)
A ↔ B	A ⟺ B	Doppia impl.	Stesso valore di verità

⚠️ OR logico è inclusivo: vero anche se entrambi sono veri. Nel linguaggio comune "o" è spesso esclusivo (XOR), ma in logica è inclusivo a meno che non sia specificato diversamente.

📌 Implicazione — Il Caso Critico

L'implicazione A → B è falsa solo quando A è vero e B è falso:

A	B	A → B	Interpretazione
V	V	V	Promessa mantenuta
V	F	F	Promessa violata ❌
F	V	V	Premessa falsa → qualsiasi cosa è ok
F	F	V	Premessa falsa → ok

📌

Proposizioni equivalenti ad A → B:
Contropositiva: ¬B → ¬A (sempre equivalente!)
Inversa: ¬A → ¬B (NON equivalente)
Conversa: B → A (NON equivalente)

📐 Simulatore Connettivi — Tavole di Verità

Imposta i valori di A e B:

A =

B =

Tavola di verità completa

📌 Leggi di De Morgan — Fondamentali

¬(A ∧ B) ≡ ¬A ∨ ¬B
"NOT(A AND B)" = "NOT A OR NOT B"

¬(A ∨ B) ≡ ¬A ∧ ¬B
"NOT(A OR B)" = "NOT A AND NOT B"

💡 Mnemonica: quando neghi una congiunzione, l'AND diventa OR e viceversa. È come "distribuire" il NOT dentro le parentesi cambiando il connettivo.

Esempio pratico:

"Non è vero che (fa caldo E c'è sole)"
≡ "Fa freddo OPPURE non c'è sole"

¬(C ∧ S) ≡ ¬C ∨ ¬S ✅

⚠️ Al TOLC chiedono spesso la negazione di proposizioni composte. Applica De Morgan sistematicamente: nega tutto e cambia AND↔OR.

Serie Numeriche e Alfabetiche

📌 Tipi di Serie Numeriche

Tipo	Esempio	Regola
Aritmetica	3, 7, 11, 15, ?	+4 sempre
Geometrica	2, 6, 18, 54, ?	×3 sempre
Quadrati	1, 4, 9, 16, ?	n²
Fibonacci	1, 1, 2, 3, 5, 8, ?	a+b=c
Differenze 2°	1, 2, 4, 7, 11, ?	Δ₁=1,2,3,4…
Alternata	1, 4, 2, 5, 3, 6, ?	Due sequenze
Mista	2, 5, 4, 8, 6, 11, ?	+3,−1,+4,−2…

💡 Strategia sistematica: calcola sempre le differenze tra termini consecutivi (Δ¹). Se non è costante, calcola le differenze delle differenze (Δ²). Se ancora no, prova moltiplicazione o due sequenze interleaved.

📌 Serie Alfabetiche

L'alfabeto italiano ha 21 lettere. Quelle mancanti rispetto all'internazionale: J, K, W, X, Y.

{'ABCDEFGHILMNOPQRSTUVZ'.split('').map((l,i)=>`${l}_${i+1}`).join('')}

Esempio: A, D, G, J, ? (+3 ogni volta)
A(1), D(4), G(7), J(10)... → M(13) ✅

📌 Al TOLC si usa spesso l'alfabeto internazionale (26 lettere, A=1…Z=26). Verifica sempre quale alfabeto viene usato nel problema!

📐 Trainer Serie — Trova il Termine Mancante

Ragionamento per Analogia

📌 Come Funziona l'Analogia

Una domanda di analogia chiede: "A sta a B come C sta a ?"

Devi trovare la relazione tra A e B, poi applicarla a C.

📌

Tipi di relazione più frequenti:
• Parte → Tutto (dito → mano)
• Azione → Agente (scrivere → scrittore)
• Oggetto → Uso (forbici → tagliare)
• Causa → Effetto (fuoco → calore)
• Sinonimo, Contrario
• Giovane → Adulto (cucciolo → cane)
• Contenitore → Contenuto

⚠️ Attenzione all'ordine della relazione: "cane sta a cucciolo" ≠ "cucciolo sta a cane". La direzione conta sempre!

📌 Esempi Commentati

Libro → Biblioteca

∷

Quadro → ?

Relazione: oggetto → luogo dove è conservato

Risposta: Museo (o Galleria) ✅

Medico → Ospedale

∷

Giudice → ?

Relazione: professionista → luogo di lavoro

Risposta: Tribunale ✅

📐 Trainer Analogia — Trova la Risposta

Diagrammi di Venn e Insiemi

📌 Operazioni sugli Insiemi

Operazione	Simbolo	Definizione
Unione	A ∪ B	Elementi in A o in B (o entrambi)
Intersezione	A ∩ B	Elementi in A e in B
Differenza	A \ B	Elementi in A ma non in B
Complementare	Aᶜ	Elementi non in A
Appartenenza	x ∈ A	x è elemento di A
Inclusione	A ⊆ B	Ogni elem. di A è anche in B

Formule utili:

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
|A \ B| = |A| − |A ∩ B|

💡 Leggi di De Morgan per insiemi:
(A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ
(A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ

⚠️ Se A ⊆ B, allora A ∩ B = A (intersezione = A) e A ∪ B = B (unione = B). Questo è un caso che appare spesso al TOLC!

📐 Diagramma di Venn Interattivo

Seleziona l'operazione

📌 Problemi con Numeri — Tecnica Fondamentale

Schema universale per problemi del tipo:

"In una classe di 30 studenti, 18 fanno sport, 15 suonano uno strumento, e 8 fanno entrambe le cose. Quanti non fanno né l'uno né l'altro?"

|A ∪ B| = |A|+|B|−|A∩B|
= 18+15−8 = 25
Non fanno nulla = 30−25 = 5

📝 Più esempi tipici TOLC:

Dato: 40 persone, 25 leggono A,
18 leggono B, 10 leggono entrambi.
Solo A = 25−10 = 15
Solo B = 18−10 = 8
A∪B = 15+10+8 = 33
Nessuno = 40−33 = 7

💡

Con 3 insiemi:
|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| − |A∩B| − |A∩C| − |B∩C| + |A∩B∩C|

⚠️ Disegna sempre il diagramma di Venn prima di rispondere. Riempilo con i valori delle singole sezioni, non delle sovrapposizioni.

🔁 Ripasso Rapido — Regole Chiave

Sillogismi

Modus Ponens: A→B, A ⊢ B
Modus Tollens: A→B, ¬B ⊢ ¬A
Fallacia: A→B, B ⊬ A

Connettivi

AND (∧): entrambi V
OR (∨): almeno uno V
A→B falso solo: A=V, B=F

De Morgan

¬(A∧B) = ¬A∨¬B
¬(A∨B) = ¬A∧¬B
Negazione: AND↔OR

Serie

Calcola Δ¹ (diff. consec.)
Se no: calcola Δ²
Prova anche × e due seq.

Analogia

Identifica la relazione
Rispetta la direzione
Applica a C → trovare D

Venn / Insiemi

|A∪B| = |A|+|B|−|A∩B|
A⊆B → A∩B=A
Disegna sempre il Venn!

🎯

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