TOLC-I · Matematica

Geometria Euclidea

Figure Piane — Triangoli, Quadrilateri, Poligoni, Circonferenza

01

Triangoli

📌 Teorema di Pitagora

Vale solo nei triangoli rettangoli. Lega i tre lati con una relazione semplice.

a (base) b c (ipo) α
c² = a² + b²
a² = c² − b²
💡 Terna pitagorica classica: (3,4,5) — 9+16=25 ✅
Anche (5,12,13) e (8,15,17) appaiono spesso al TOLC.
⚠️ c è sempre l'ipotenusa (il lato opposto all'angolo retto, il più lungo). Non confonderla con i cateti!
📌 Criteri di Congruenza

Due triangoli sono congruenti se hanno la stessa forma e stessa dimensione. Esistono 3 criteri:

Criterio Condizione
1° (LAL) 2 lati e l'angolo compreso
2° (ALA) 2 angoli e il lato compreso
3° (LLL) tutti e 3 i lati uguali
⚠️ LAL non funziona se l'angolo non è quello compreso tra i due lati — errore classico!
Esempio visivo — 2° criterio (ALA)
T₁ ≅ T₂
📐 Aree dei Triangoli
Triangolo Qualunque
b h
A = (b · h) / 2
Triangolo Equilatero
l
A = (l² · √3) / 4
Triangolo Rettangolo
a b
A = (a · b) / 2
💡 Formula con il seno (utile se conosci due lati e l'angolo compreso): A = (1/2) · a · b · sin(C)
02

Quadrilateri

Parallelogramma
h b
A = b · h
  • Lati opposti paralleli e uguali
  • Angoli opposti uguali
  • Diagonali si bisecano
⚠️ h è l'altezza perpendicolare, NON il lato obliquo!
Trapezio
h B b
A = ((B + b) · h) / 2
  • Solo una coppia di lati paralleli (B e b)
  • Trapezio isoscele: lati obliqui uguali
  • Trapezio rettangolo: un angolo retto
💡 Pensa alla formula come: media delle basi × altezza
Rombo
d₁ d₂
A = (d₁ · d₂) / 2
  • 4 lati uguali
  • Diagonali perpendicolari
  • Diagonali si bisecano
Rettangolo
b h
A = b · h
  • 4 angoli retti
  • Lati opposti uguali
  • Diagonali uguali e si bisecano
Quadrato
l d=l√2
A = l²
d = l · √2
  • 4 lati uguali + 4 angoli retti
  • Diagonale = l√2
03

Poligoni Regolari

📌 Formula Angoli Interni

La somma degli angoli interni di un poligono con n lati:

S = (n − 2) · 180°

Ogni singolo angolo interno di un poligono regolare:

α = (n − 2) · 180° / n
PoligononSomma angoliAngolo singolo
Triangolo3180°60°
Quadrato4360°90°
Pentagono5540°108°
Esagono6720°120°
Ottagono81080°135°
💡 Trucco: ogni volta che aggiungi un lato, aggiungi 180° alla somma totale.
📐 Poligoni Visivi
n=3 · 180°
n=4 · 360°
n=5 · 540°
n=6 · 720°
⚠️ Angoli esterni: la somma è sempre 360° per qualsiasi poligono convesso — indipendentemente da n!
📌 Numero di diagonali di un poligono con n lati: n(n−3)/2
04

Circonferenza

📌 Formule Base
ElementoFormula
CirconferenzaC = 2πr
Area cerchioA = πr²
Arco (ang. α°)l = 2πr · α/360
Settore circolareA = πr² · α/360
O r d=2r corda tang. α arco
📌 Angoli al Centro e Alla Circonferenza
📌
Angolo al centro = arco che sottende
α_centro = arco AB
📌
Angolo alla circonferenza = metà arco che sottende
α_circ = arco AB / 2
O A B 2α P α
⚠️ Tutti gli angoli iscritti che insistono sullo stesso arco sono uguali tra loro — classico al TOLC!
Proprietà delle Corde
  • La perpendicolare dal centro alla corda la biseca
  • Corde equidistanti dal centro sono uguali
  • La corda più lunga è il diametro
O ⊥ La ⊥ biseca la corda
d(O, corda)² + (l/2)² = r²

dove l = lunghezza corda, d = distanza dal centro

Proprietà delle Tangenti
  • La tangente è perpendicolare al raggio nel punto di tangenza
  • Da un punto esterno si possono tracciare 2 tangenti uguali
  • Angolo tra tangente e corda = angolo iscritto sull'arco
O P T₁ T₂ PT₁ = PT₂
⚠️ La tangente tocca la circonferenza in un solo punto — non la attraversa!
🔁 Ripasso Rapido — Tutte le Formule
Triangoli
A = (b·h)/2
Pitagora: c²=a²+b²
Equilatero: A=(l²√3)/4
Con seno: A=(1/2)ab·sin(C)
Quadrilateri
Parallelogramma: A=b·h
Trapezio: A=(B+b)·h/2
Rombo: A=(d₁·d₂)/2
Quadrato: A=l², d=l√2
Poligoni
Somma angoli: (n-2)·180°
Angolo singolo: (n-2)·180°/n
Angoli esterni: sempre 360°
Diagonali: n(n-3)/2
Circonferenza
C = 2πr
Area = πr²
Arco = 2πr·α/360
∠centro = 2 · ∠iscritto
🎯

Esercizi Stile TOLC-I

// Smooth scroll document.querySelectorAll('a[href^="#"]').forEach(a => { a.addEventListener('click', e => { e.preventDefault(); document.querySelector(a.getAttribute('href'))?.scrollIntoView({ behavior: 'smooth' }); }); }); // Stagger section animations const sections = document.querySelectorAll('.section'); const obs = new IntersectionObserver(entries => { entries.forEach((e, i) => { if (e.isIntersecting) { e.target.style.animationDelay = '0s'; e.target.style.opacity = '1'; } }); }, { threshold: 0.1 }); sections.forEach(s => obs.observe(s));