TOLC-I · Matematica

Geometria Analitica

Rette e Parabole — con grafici interattivi

01

La Retta

📌 Forme dell'equazione

Forma esplicita — la più usata:

y = mx + q
  • m = coefficiente angolare (pendenza)
  • q = intercetta sull'asse y

Forma implicita — utile per distanza punto-retta:

ax + by + c = 0

Forma per due punti P₁(x₁,y₁) e P₂(x₂,y₂):

(y-y₁)/(y₂-y₁) = (x-x₁)/(x₂-x₁)
💡 Casi speciali: y = k (retta orizzontale, m=0) e x = k (retta verticale, m non esiste)
📌 Coefficiente Angolare m

m misura quanto è "inclinata" la retta — è il rapporto tra variazione verticale e orizzontale.

m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = Δy / Δx = tan(α)
Valore di mSignificato
m > 0Retta crescente (↗)
m < 0Retta decrescente (↘)
m = 0Retta orizzontale (→)
m → ∞Retta verticale (↑)

Rette parallele e perpendicolari:

parallele: m₁ = m₂
perpendicolari: m₁ · m₂ = −1
⚠️ Perpendicolare: m₂ = −1/m₁. Se m₁=2, la perpendicolare ha m₂=−1/2, non −2!
📐 Grafico — Effetto di m e q
Piano cartesiano — y = mx + q
y = 1x + 0

Muovi i cursori per vedere come cambiano m (pendenza) e q (intercetta).

📌
m cambia l'inclinazione
m=0 → orizzontale
m grande → quasi verticale
m negativo → discende
💡
q sposta la retta
q=0 → passa per l'origine
q>0 → sale
q<0 → scende
⚠️ Due rette con lo stesso m ma q diverso sono parallele e non si incontrano mai!
Rette Parallele — m₁ = m₂
r₁: y = 2x + 1  ‖  r₂: y = 2x − 2

Stessa pendenza m=2, intercette diverse → mai si incontrano.

Rette Perpendicolari — m₁·m₂ = −1
r₁: y = 2x  ⊥  r₂: y = −½x

m₁=2, m₂=−½ → 2·(−½)=−1 ✅ Si incrociano ad angolo retto.

02

Distanza Punto-Retta

📌 Formula

Data la retta in forma implicita ax + by + c = 0 e un punto P(x₀, y₀):

d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)
📌 Il valore assoluto al numeratore assicura che la distanza sia sempre positiva.

📝 Esempio risolto:

Distanza di P(2,3) dalla retta 3x − 4y + 5 = 0

d = |3·2 − 4·3 + 5| / √(9+16)
d = |6 − 12 + 5| / √25
d = |−1| / 5 = 1/5 = 0.2
⚠️ Prima converti sempre in forma ax+by+c=0. Da y=2x+1 → 2x−y+1=0 (a=2, b=−1, c=1)
📐 Visualizzazione
Distanza minima = segmento perpendicolare

La distanza punto-retta è sempre misurata lungo la perpendicolare alla retta — è il percorso più breve.

💡 Caso speciale: distanza tra due rette parallele ax+by+c₁=0 e ax+by+c₂=0:
d = |c₁ − c₂| / √(a² + b²)
03

La Parabola

📌 Equazione e Elementi

Forma canonica con asse parallelo all'asse y:

y = ax² + bx + c    (a ≠ 0)
ElementoFormula
Vertice Vₓx_V = −b / (2a)
Vertice V_yy_V = −Δ / (4a)
Asse simmetriax = −b/(2a)
FuocoF = (x_V, y_V + 1/(4a))
Direttricey = y_V − 1/(4a)
Aperturaa>0 ↑, a<0 ↓
DiscriminanteΔ = b²− 4ac
💡 Numero intersezioni con asse x: Δ>0 → 2 punti | Δ=0 → 1 punto (tangente) | Δ<0 → nessuna
📐 Forma con Vertice

Se conosci il vertice V(h,k) puoi scrivere direttamente:

y = a(x − h)² + k

📝 Esempio completo:

Trova vertice, fuoco, direttrice di y = x² − 4x + 3

a=1, b=−4, c=3
x_V = −(−4)/(2·1) = 2
y_V = −(16−12)/4 = −4/4 = −1
Vertice: V(2, −1)
Fuoco: F(2, −1 + 1/4) = F(2, −3/4)
Direttrice: y = −1 − 1/4 = y = −5/4
Intersezioni asse x: Δ=16−12=4>0
x=(4±2)/2 → x=1, x=3
📐 Grafico Interattivo — y = ax² + bx + c
Parabola con vertice, fuoco, direttrice
y = x² − 4x + 3
⚠️ Se a=0 non è più una parabola — diventa una retta!
Intersezioni con gli Assi

Con asse y (x=0):

y = c  → punto (0, c)

Con asse x (y=0): risolvi ax²+bx+c=0

x = (−b ± √Δ) / (2a)

La parabola y=x²−4x+3 taglia l'asse x in (1,0) e (3,0) e l'asse y in (0,3).

Parabola con Asse Orizzontale

Esiste anche la parabola con asse parallelo all'asse x:

x = ay² + by + c
  • Apre a destra se a > 0, a sinistra se a < 0
  • Vertice: y_V = −b/(2a), x_V = −Δ/(4a)
  • Non è funzione (non supera il test della retta verticale)
x = y² − 2y − 3
⚠️ Al TOLC-I compare quasi sempre la parabola verticale y=ax²+bx+c — la orizzontale è rara.
🔁 Ripasso Rapido — Tutte le Formule
Retta
Esplicita: y = mx + q
Implicita: ax + by + c = 0
m = Δy/Δx = tan(α)
Parallele: m₁ = m₂
Perp.: m₁·m₂ = −1
Distanza
Punto-retta: |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²)
Rette ‖: |c₁−c₂|/√(a²+b²)
Sempre ≥ 0 (valore assoluto!)
Parabola
y = ax²+bx+c
x_V = −b/(2a)
y_V = −Δ/(4a)
Fuoco: y_V + 1/(4a)
Direttrice: y = y_V − 1/(4a)
Intersezioni
Δ>0 → 2 punti
Δ=0 → 1 punto (tangente)
Δ<0 → nessuna
Con y: x=0 → y=c
🎯

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