TOLC-I · Matematica

Figure Solide

Volume e Superficie di Prismi, Piramidi, Coni, Cilindri e Sfere

01

Prismi — Cubo, Parallelepipedo, Prisma

📌 Cubo

Tutti e 6 i lati sono quadrati uguali. Ha un solo parametro: il lato l.

V = l³
S = 6l²
Diagonale spaziale = l√3
💡 La diagonale spaziale vale l√3 perché si ricava da Pitagora due volte: d²=(l√2)²+l²=3l².
⚠️ La superficie totale conta 6 facce, non 4. Errore classico al TOLC!
📐 Cubo — Vista Isometrica
l l l d=l√3
V = l³  ·  S = 6l²
📌 Parallelepipedo Rettangolo

Generalizzazione del cubo con tre dimensioni distinte: lunghezza a, larghezza b, altezza c.

V = a · b · c
S = 2(ab + bc + ac)
Diagonale = √(a² + b² + c²)
💡 La superficie ha 3 coppie di facce identiche: ab (sopra/sotto), bc (fronte/retro), ac (lato dx/sx).

📝 Esempio: a=3, b=4, c=5

V = 3·4·5 = 60
S = 2(12+20+15) = 2·47 = 94
d = √(9+16+25) = √50 = 5√2
📐 Parallelepipedo
a c b
V = abc  ·  S = 2(ab+bc+ac)
📌 Prisma Generico

Il prisma ha due basi poligonali uguali e parallele collegate da rettangoli. La formula è sempre la stessa indipendentemente dalla forma della base:

V = A_base · h
S_lat = Perimetro_base · h
S_tot = S_lat + 2 · A_base
💡 Prima calcola l'area della base (triangolo, quadrato, esagono...), poi moltiplica per h. Il prisma è sempre base × altezza.
⚠️ Non confondere altezza del prisma (distanza tra le basi) con il lato del poligono di base!
base triangolare h
Prisma triangolare
02

Piramide

📌 Formule Piramide

La piramide ha una base poligonale e tutte le facce laterali sono triangoli che convergono nell'apice.

V = (1/3) · A_base · h
S_lat = (1/2) · Perimetro_base · apotema
S_tot = S_lat + A_base
📌 Apotema della piramide = altezza di una faccia laterale triangolare (non l'altezza h della piramide!). Si calcola con Pitagora se serve.

📝 Esempio — Piramide a base quadrata:

Base l=6, altezza h=4

A_base = 6² = 36
V = (1/3)·36·4 = 48
Apotema = √(4²+(6/2)²) = √(16+9) = 5
S_lat = (1/2)·24·5 = 60
S_tot = 60+36 = 96
⚠️ Il fattore 1/3 è fondamentale — una piramide ha esattamente 1/3 del volume del prisma con stessa base e altezza!
📐 Piramide a base quadrata
h l apot.
V = ⅓·A_base·h
03

Cilindro e Cono

📌 Cilindro

Due basi circolari uguali e parallele, collegate da una superficie laterale rettangolare.

V = π · r² · h
S_lat = 2π · r · h
S_tot = 2πr(r + h)
💡 La superficie laterale è un rettangolo se lo "srotoli": base = 2πr (circonferenza), altezza = h. Quindi S_lat = 2πr·h.

📝 Esempio: r=3, h=5

V = π·9·5 = 45π ≈ 141.4
S_lat = 2π·3·5 = 30π ≈ 94.2
S_tot = 2π·3·(3+5) = 48π ≈ 150.8
r h
V = πr²h
📌 Cono

Base circolare e un apice. La generatrice l è il segmento dall'apice al bordo della base.

V = (1/3) · π · r² · h
S_lat = π · r · l
S_tot = πr(r + l)
l = √(r² + h²) ← Pitagora!
📌 La generatrice l si trova sempre con Pitagora: l²=r²+h². Serve per calcolare S_lat!

📝 Esempio: r=3, h=4 → l=√(9+16)=5

V = (1/3)·π·9·4 = 12π ≈ 37.7
S_lat = π·3·5 = 15π ≈ 47.1
S_tot = π·3·(3+5) = 24π ≈ 75.4
l r h
V = ⅓πr²h  ·  l=√(r²+h²)
⚠️ Cono = 1/3 di cilindro con stessa base e altezza. Piramide = 1/3 di prisma. Il 1/3 è sempre lì!
04

Sfera

📌 Formule Sfera

La sfera è il luogo dei punti equidistanti da un centro O. Ha un solo parametro: il raggio r.

V = (4/3) · π · r³
S = 4 · π · r²
💡 Trucco di memoria: S = 4 cerchi (4πr²). Il volume è 4/3 per il raggio al cubo.

📝 Esempio completo: r=6

V = (4/3)·π·216 = 288π ≈ 904.8
S = 4·π·36 = 144π ≈ 452.4

📝 Esempio inverso (TOLC-I):

Data S=100π, trovare r:

4πr² = 100π → r² = 25 → r = 5
rVS
14π/3 ≈ 4.194π ≈ 12.57
232π/3 ≈ 33.516π ≈ 50.3
336π ≈ 113.136π ≈ 113.1
5500π/3 ≈ 523.6100π ≈ 314.2
⚠️ Quando r=3: V = S = 36π! È l'unica sfera in cui V e S (numericamente) coincidono.
📐 Sfera
O r
V = 4/3 πr³  ·  S = 4πr²
💡
Curiosità TOLC: Una sfera inscritta in un cilindro (r_cil=r_sfera, h_cil=2r) ha:
V_sfera/V_cil = (4/3πr³)/(πr²·2r) = 2/3
🔁 Ripasso Rapido — Tutte le Formule
Cubo
V = l³
S = 6l²
d = l√3
Parallelepipedo
V = abc
S = 2(ab+bc+ac)
d = √(a²+b²+c²)
Prisma
V = A_base·h
S_lat = P_base·h
S_tot = S_lat+2A_base
Piramide
V = (1/3)·A_base·h
S_lat = (1/2)·P·apot
S_tot = S_lat+A_base
Cilindro
V = πr²h
S_lat = 2πrh
S_tot = 2πr(r+h)
Cono
V = (1/3)πr²h
S_lat = πrl
l = √(r²+h²)
Sfera
V = (4/3)πr³
S = 4πr²
Regola del ⅓
Piramide = ⅓ Prisma
Cono = ⅓ Cilindro
Sfera = ⅔ Cilindro
🎯

Esercizi Stile TOLC-I