📐 TOLC-I · Matematica

Equazioni, Polinomi & Sistemi

Equazioni e disequazioni di 1°/2° grado, fattorizzazione, fratte, radicali e sistemi

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Equazioni di 1° Grado

📌 Metodo Risolutivo

ax + b = 0 → x = −b/a (con a≠0)

Regola: porta i termini con x a sinistra,
i termini noti a destra.
Poi dividi per il coefficiente di x.

📝 Esempio: 3x − 5 = x + 7

3x − x = 7 + 5
2x = 12
x = 6 ✅

Equazioni con frazioni:

x/2 + 1 = x/3 + 2
MCM=6: 3x + 6 = 2x + 12
x = 6 ✅
⚠️Quando moltiplichi per il MCM, moltiplica ogni termine dell'equazione, non solo le frazioni!
📌 Equazioni Intere, Impossibili, Indeterminate
TipoRisultatoEsempio
Determinata1 soluzione2x=4 → x=2
ImpossibileNessuna sol.0x=5 → assurdo
Indeterminata∞ soluzioni0x=0 → vera ∀x
📌Se semplificando arrivi a 0=k (k≠0) → impossibile. Se arrivi a 0=0 → indeterminata.

Equazioni con valore assoluto:

|2x−1| = 5
Caso 1: 2x−1=5 → x=3
Caso 2: 2x−1=−5 → x=−2
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Equazioni di 2° Grado

📌 Formula Risolutiva

ax² + bx + c = 0 (a≠0)

x = (−b ± √Δ) / 2a
Δ = b² − 4ac
ΔSoluzioni
Δ > 02 soluzioni reali distinte
Δ = 01 soluzione doppia x=−b/2a
Δ < 0Nessuna soluzione reale

📝 Esempio: x²−5x+6=0

Δ=25−24=1 > 0
x=(5±1)/2 → x=3 oppure x=2
⚠️Se Δ<0 → nessuna soluzione reale. NON esistono radici quadrate di numeri negativi in ℝ!
📌 Formule di Viète e Casi Particolari

Relazioni tra radici x₁, x₂ e coefficienti:

x₁ + x₂ = −b/a
x₁ · x₂ = c/a
💡Viète permette di trovare x₁+x₂ e x₁·x₂ senza calcolare le singole radici — spesso sufficiente al TOLC!

Casi particolari:

b=0: ax²+c=0 → x²=−c/a
c=0: ax²+bx=0 → x(ax+b)=0
Biquadratica: ax⁴+bx²+c=0 → t=x²

Metodo parabolico per disequazioni:

a>0, Δ>0: parabola ∪
ax²+bx+c > 0 → x<x₁ o x>x₂
ax²+bx+c < 0 → x₁<x<x₂
⚠️Con a<0 la parabola è ∩ — i versi si invertono! Disegna sempre la parabola prima di rispondere.
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Disequazioni Fratte e con Radicali

📌 Disequazioni Fratte

N(x)/D(x) > 0 → si studia il segno di N e D separatamente.

Metodo:
1. Porta tutto a 1° membro
2. Fattorizza numeratore e denominatore
3. Tabella dei segni
4. Leggi il segno della frazione
5. ESCLUDI sempre gli zeri del denominatore
⚠️Con ≤/≥: includi gli zeri del numeratore, ESCLUDI sempre gli zeri del denominatore!

📝 Esempio: (x+1)/(x−2) > 0

Zeri: x=−1 (num) e x=2 (den, escluso)
Tabella segni:
x<−1: −/− = + ✓
−1<x<2: +/− = − ✗
x>2: +/+ = + ✓
Soluzione: x<−1 oppure x>2
📌 Equazioni e Disequazioni con Radicali

Equazioni radicali — metodo:

1. Imponi CE: argomento ≥ 0
2. Isola la radice
3. Eleva al quadrato
4. Risolvi
5. VERIFICA (obbligatoria!) ogni soluzione

📝 Esempio: √(x+3) = x−1

CE: x+3≥0 → x≥−3
Quadrato: x+3=(x−1)² = x²−2x+1
x²−3x−2=0 → ... x=3.56, x=−0.56
Verifica: solo x≈3.56 è valida (l'altra dà √ = numero negativo)
⚠️Elevare al quadrato può introdurre soluzioni spurie. La verifica è SEMPRE obbligatoria nelle equazioni con radicali!
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Polinomi e Fattorizzazione

📌 Prodotti Notevoli
(a±b)² = a² ± 2ab + b²
(a+b)(a−b) = a²−b²
(a±b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³
a³±b³ = (a±b)(a²∓ab+b²)
⚠️(a+b)² ≠ a²+b². Errore gravissimo! Manca sempre il termine 2ab.
💡Per a³−b³: il trinomio ha il segno del termine misto OPPOSTO al binomio. (a−b)(a²+ab+b²).
📌 Schema di Fattorizzazione
1. Raccoglimento totale (MCD)
2. Binomio → diff. quadrati/cubi
3. Trinomio → (x+a)(x+b) con a+b=coeff.x, a·b=termine noto
4. Grado≥3 → Ruffini (radici razionali tra ÷ del termine noto)
5. Continua finché irriducibile

📝 Ruffini: x³−4x²−4x+16, radice x=4

4 | 1 −4 −4 16
| 4 0 −16
| 1 0 −4 0
→ (x−4)(x²−4) = (x−4)(x+2)(x−2)
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Frazioni Algebriche

📌 Operazioni

Le frazioni algebriche si trattano come le frazioni numeriche. CE: denominatore ≠ 0

Semplificazione: fattorizza e cancella
(x²−4)/(x+2) = (x+2)(x−2)/(x+2) = x−2
CE: x≠−2
Somma: riduci a MCM
1/(x−1) + 1/(x+1) = (x+1+x−1)/[(x−1)(x+1)] = 2x/(x²−1)
⚠️Mai semplificare addizioni/sottrazioni al numeratore o denominatore senza aver fattorizzato prima!
📌 Equazioni Fratte

Metodo: trova il MCM, moltiplica tutto, imponi CE, risolvi, verifica CE.

1/(x−1) + 2/x = 3
CE: x≠0, x≠1
MCM = x(x−1)
x + 2(x−1) = 3x(x−1)
3x−2 = 3x²−3x
3x²−6x+2=0
Δ=36−24=12 → x=(6±2√3)/6
📌Dopo aver trovato le soluzioni, verifica sempre che rispettino le CE (non siano uguali ai valori esclusi)!
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Sistemi di Equazioni

Sostituzione

Ricava una variabile da un'equazione, sostituisci nell'altra.

2x+y=7
x−y=2
→ y=x−2 → 2x+x−2=7
→ x=3, y=1
💡Scegli l'equazione con coefficiente 1 per ricavare la variabile — eviti le frazioni.
Riduzione (Eliminazione)

Moltiplica le equazioni per rendere un coefficiente uguale e opposto, poi somma.

3x+2y=8 (×3)
2x−3y=1 (×2)
→ 9x+6y=24
→ 4x−6y=2
→ 13x=26 → x=2
Sistemi con 2° Grado

Ricava da quella lineare, sostituisci nella quadratica.

y=x+2
x²+y²=20
→ x²+(x+2)²=20
→ 2x²+4x−16=0
→ x=2 (y=4) o x=−4 (y=−2)
⚠️Un sistema misto (lineare+quadratica) ha sempre DUE coppie di soluzioni (o meno se Δ≤0).
🔁 Ripasso Rapido
Equaz. 1°
ax+b=0 → x=−b/a
0=k (k≠0) → impossibile
0=0 → indeterminata
Equaz. 2°
Δ=b²−4ac
x=(−b±√Δ)/2a
Δ<0 → nessuna sol.
Fratte
Tabella segni
Zeri den → esclusi
Zeri num → inclusi (≤/≥)
Polinomi
(a+b)²=a²+2ab+b²
a³−b³=(a−b)(a²+ab+b²)
Ruffini: cerca radici razionali
Radicali
CE → isola → quadrato
→ risolvi → VERIFICA!
Sistemi
Sost.: ricava y, sostituisci
Rid.: elimina variabile
Misto: 2 coppie soluzioni
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