Circonferenza ed Ellisse

La Circonferenza

📌 Le due forme

Forma canonica — centro C(a,b) e raggio r già leggibili:

(x − a)² + (y − b)² = r²

Forma generale — si ottiene espandendo:

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Per tornare alla forma canonica, si completa il quadrato:

Centro: C(−D/2, −E/2)
Raggio: r = √(D²/4 + E²/4 − F)

⚠️ La forma generale è una circonferenza solo se r² > 0, cioè D²/4 + E²/4 − F > 0. Se = 0 → punto; se < 0 → impossibile.

📝 Esempio — dalla forma generale:

x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0

(x−2)² − 4 + (y+3)² − 9 − 3 = 0
(x−2)² + (y+3)² = 16
Centro C(2,−3), raggio r = 4

💡 Completa il quadrato: x²−4x = (x−2)²−4. In generale: x²+Dx = (x+D/2)²−(D/2)².

📐 Grafico Interattivo

(x − a)² + (y − b)² = r²

a (centro x) 1

b (centro y) -1

r (raggio) 2.5

📌 Muovi i cursori: nota come a, b traslano il centro e r cambia il raggio. La forma della curva resta sempre un cerchio perfetto.

📌 Trovare la Circonferenza da Condizioni

La circonferenza ha 3 gradi di libertà (a, b, r oppure D, E, F). Servono quindi 3 condizioni, ad esempio:

3 punti sul perimetro
Centro + 1 punto sul perimetro
Centro + tangente nota

📝 Esempio — circonferenza per 3 punti:

P₁(0,0), P₂(4,0), P₃(0,4): sostituisci nella forma generale x²+y²+Dx+Ey+F=0

P₁: F = 0
P₂: 16+4D+F=0 → D = −4
P₃: 16+4E+F=0 → E = −4
→ x²+y²−4x−4y = 0
Centro C(2,2), r = 2√2

Circonferenza per 3 punti

Condizione di Tangenza Retta-Circonferenza

📌 Le Tre Posizioni

Data una retta ax+by+c=0 e una circonferenza con centro C(x₀,y₀) e raggio r, la relazione dipende dalla distanza d del centro dalla retta:

d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²)

Condizione	Posizione	Intersezioni
d < r	Retta secante	2 punti
d = r	Retta tangente	1 punto
d > r	Retta esterna	0 punti

📌 Regola d'oro: tangenza ↔ distanza centro-retta = raggio. È la formula più usata nei problemi TOLC sulla circonferenza!

📝 Esempio:

La retta y = x + k è tangente a x²+y²=5. Trovare k.

Retta: x − y + k = 0 (a=1,b=−1,c=k)
Centro (0,0), r=√5
d = |k|/√2 = √5
|k| = √10 → k = ±√10

⚠️ Alternativamente: sostituisci y=x+k in x²+y²=5, poi imponi Δ=0 (un'unica soluzione → tangenza). Stesso risultato!

📐 Visualizzazione Interattiva

Retta y = x + k rispetto a x²+y²=5

k = 0

Muovi k e osserva come cambia la posizione relativa. La retta diventa tangente esattamente per k = ±√10 ≈ ±3.16.

💡 Tangente nel punto P(x₁,y₁) su circonferenza x²+y²=r²: la retta tangente è x·x₁ + y·y₁ = r². Formula compatta da memorizzare!

Tangente in P(x₁,y₁): x·x₁ + y·y₁ = r²

L'Ellisse

📌 Equazione e Elementi

L'ellisse centrata nell'origine con semiassi a (orizzontale) e b (verticale), con a > b > 0:

x²/a² + y²/b² = 1

Elemento	Formula	Note
Semiasse maggiore	a	lungo l'asse x
Semiasse minore	b	lungo l'asse y
Distanza fuochi	c = √(a²−b²)	c < a sempre
Fuochi	F₁(−c,0), F₂(c,0)	sull'asse maggiore
Eccentricità	e = c/a	0 < e < 1
Vertici	(±a,0), (0,±b)	sugli assi

📌 Proprietà fondamentale: per ogni punto P dell'ellisse, la somma delle distanze dai due fuochi è costante e uguale a 2a:
PF₁ + PF₂ = 2a

⚠️ Se b > a (asse maggiore verticale), i fuochi stanno sull'asse y e c=√(b²−a²). Attenzione all'orientamento!

📐 Grafico Interattivo — Ellisse

x²/a² + y²/b² = 1

a (semix) 4

b (semiy) 2.5

📌 Eccentricità — dal Cerchio all'Ellisse Schiacciata

e = 0 → Cerchio

Quando a = b, c=0, i fuochi coincidono col centro. L'ellisse diventa un cerchio.

e = 0 → a = b → cerchio

0 < e < 1 → Ellisse

Più e si avvicina a 0, più l'ellisse è tonda. Più si avvicina a 1, più è schiacciata.

e = c/a (0 < e < 1)

e → 1 → Ellisse degenere

I fuochi si avvicinano ai vertici. L'ellisse diventa sempre più "piatta".

e → 1 → c → a → b → 0

Confronto ellissi con diversa eccentricità (stesso a=5)

📌 Formula triangolo fuochi-vertice: Il triangolo formato dai 2 fuochi e dal vertice superiore (0,b) ha ipotenusa = a. Quindi sempre: a² = b² + c².

a² = b² + c² → c = √(a²−b²)

📌 Ellisse con Asse Maggiore Verticale

Se l'equazione ha denominatore maggiore sotto y²:

x²/b² + y²/a² = 1 (a > b)

Semiasse maggiore a lungo asse y
Fuochi su asse y: F₁(0,−c), F₂(0,c)
Vertici: (0,±a), (±b,0)
c = √(a²−b²) come sempre

⚠️ Regola: i fuochi stanno sempre sull'asse del denominatore più grande. Denominatore sotto x² più grande → fuochi su x. Sotto y² più grande → fuochi su y.

Ellisse verticale x²/9 + y²/25 = 1

🔁 Ripasso Rapido — Tutte le Formule

Circonferenza

Canonica: (x−a)²+(y−b)²=r²
Generale: x²+y²+Dx+Ey+F=0
Centro: (−D/2, −E/2)
Raggio: √(D²/4+E²/4−F)

Tangenza

d(C,retta) = r → tangente
d = |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²)
d < r → secante
d > r → esterna

Tang. in P(x₁,y₁)

Su x²+y²=r²:
x·x₁ + y·y₁ = r²

Ellisse

x²/a²+y²/b²=1 (a>b)
c = √(a²−b²)
e = c/a (0<e<1)
PF₁+PF₂ = 2a

Fuochi Ellisse

Asse oriz.: F(±c, 0)
Asse vert.: F(0, ±c)
Regola: fuochi sul lato del denom. maggiore

Eccentricità

e=0 → cerchio
0<e<1 → ellisse
e vicino 0 → tonda
e vicino 1 → schiacciata

🎯

Circonferenza ed Ellisse

La Circonferenza

Condizione di Tangenza Retta-Circonferenza

L'Ellisse

Esercizi Stile TOLC-I