Cinematica

Moto Rettilineo Uniforme

📌 Definizione e Formule

Velocità costante in modulo, direzione e verso. Accelerazione = 0.

s = v · t

Grandezza	Simbolo	Unità SI
Spazio percorso	s	m (metri)
Velocità	v	m/s
Tempo	t	s (secondi)

Forma con posizione iniziale:

x(t) = x₀ + v · t

💡 Il grafico s–t è una retta con pendenza = v. Il grafico v–t è una retta orizzontale (v costante).

📝 Esempio:

Un'auto percorre 144 km in 2 ore. Velocità media?

v = s/t = 144 km / 2 h = 72 km/h = 20 m/s

⚠️ Conversione frequente: 1 m/s = 3.6 km/h. Per convertire km/h → m/s, dividere per 3.6. Per m/s → km/h, moltiplicare per 3.6.

📐 Simulazione — MRU

Posizione nel tempo

v = 2 m/s

x₀ = 0 m

La pendenza della retta nel grafico s–t è esattamente la velocità. Pendenza negativa = moto verso sinistra.

Grafico v–t (velocità costante)

📌 Problema Classico — Incontro tra Due Mobili

Due corpi si muovono uno verso l'altro (o nella stessa direzione). Quando e dove si incontrano?

Metodo: imponi x₁(t) = x₂(t)

x₀₁ + v₁·t = x₀₂ + v₂·t
t = (x₀₂ − x₀₁) / (v₁ − v₂)

📌 Attenzione ai segni delle velocità: scegli una direzione positiva e mantienila. Se un corpo va a sinistra, v è negativa.

📝 Esempio: A parte da x=0 con v=4 m/s; B da x=60 m verso A con v=−6 m/s.

0+4t = 60+(−6)t → 10t=60 → t=6 s
x=4·6=24 m

Incontro due mobili

Moto Uniformemente Accelerato

📌 Le Tre Equazioni Fondamentali

Accelerazione costante a. Le tre equazioni del MUA:

① v = v₀ + a·t

② s = v₀·t + ½·a·t²

③ v² = v₀² + 2·a·s ← senza t!

💡

Quando usare quale:
① conosco a,t → cerco v
② conosco a,t → cerco s
③ non conosco t → lego v e s

Spazio medio:

v_media = (v₀ + v) / 2 → s = v_media · t

📝 Caduta libera: a = g = 9.81 m/s² ↓, v₀=0

s = ½·g·t² → t = √(2s/g)
v = g·t = √(2·g·s)

⚠️ Nella caduta libera si trascura l'attrito dell'aria. g ≈ 9.81 m/s² ≈ 10 m/s² al TOLC (usare 10 semplifica i calcoli).

📐 Simulazione — MUA con grafici s(t), v(t)

Grafico s(t) — parabola

v₀ = 2 m/s

a = 2 m/s²

Grafico v(t) — retta

📌 Confronto MRU vs MUA

Proprietà	MRU	MUA
Accelerazione	a = 0	a = cost ≠ 0
Velocità	v = cost	v = v₀ + at
Spazio	s = v·t	s = v₀t + ½at²
Grafico s–t	Retta	Parabola
Grafico v–t	Retta orizzontale	Retta inclinata
Grafico a–t	Retta su y=0	Retta orizzontale (a≠0)

📌 L'area sotto la curva v–t = spazio percorso. L'area sotto a–t = variazione di velocità. Questo vale sempre, anche per moti non uniformi.

Moto Circolare

📌 Grandezze Angolari e Lineari

Grandezza	Simbolo	Formula	Unità
Periodo	T	tempo per 1 giro	s
Frequenza	f	f = 1/T	Hz
Vel. angolare	ω	ω = 2π/T = 2πf	rad/s
Vel. lineare	v	v = ω·r	m/s
Acc. centripeta	aᶜ	aᶜ = v²/r = ω²·r	m/s²

📌 Acc. centripeta è sempre diretta verso il centro del cerchio — è quella che "curva" la traiettoria. Non aumenta il modulo della velocità, solo cambia la direzione.

📝 Esempio: Ruota con r=0.5 m, T=2 s

f = 1/T = 0.5 Hz
ω = 2π/2 = π ≈ 3.14 rad/s
v = ω·r = π·0.5 ≈ 1.57 m/s
aᶜ = v²/r = (1.57)²/0.5 ≈ 4.93 m/s²

⚠️ v è la velocità tangenziale (lineare), ω è quella angolare. Nel MCU (uniforme) v è costante in modulo ma cambia direzione → c'è sempre accelerazione!

📐 Simulazione — Moto Circolare Uniforme

Velocità tangenziale e centripeta

ω = 1.5 r/s

r = 70 px

📌 MCU vs MCUA

Moto Circolare Uniforme (MCU): ω costante, solo accelerazione centripeta.

aᶜ = ω²·r = v²/r (verso centro)

Moto Circolare Uniformemente Accelerato (MCUA): ω cambia, c'è anche accelerazione tangenziale.

aₜ = α·r (tangenziale)
a_tot = √(aᶜ² + aₜ²)

💡 Analogia con MUA lineare: la velocità angolare ω gioca il ruolo di v, l'angolo θ gioca il ruolo di s, l'accelerazione angolare α gioca il ruolo di a.

Lineare	Angolare
s	θ (rad)
v = s/t	ω = θ/t
a	α (rad/s²)
v = v₀+at	ω = ω₀+αt

Moto Parabolico (Proiettile)

📌 Scomposizione in due moti

Il moto del proiettile si scompone in due moti indipendenti:

ORIZZONTALE

vₓ = v₀·cos θ
x = vₓ·t

MRU — velocità costante

VERTICALE

v_y = v₀·sin θ − g·t
y = v₀·sin θ·t − ½g·t²

MUA — accelerazione g↓

Grandezze derivate:

Gittata: R = v₀²·sin(2θ) / g
Altezza max: h = v₀²·sin²θ / (2g)
Tempo totale: T = 2·v₀·sin θ / g

💡

Gittata massima per θ = 45° (sin 90° = 1).
Angoli supplementari danno stessa gittata: 30° e 60° → stessa R!

⚠️ In cima alla traiettoria: v_y = 0, ma vₓ ≠ 0. La velocità non è mai zero (solo la componente verticale lo è al punto più alto).

📐 Simulazione — Traiettoria Parabolica

Variare v₀ e θ per esplorare la traiettoria

v₀ = 15 m/s

θ = 45°

📌 Caso Speciale — Lancio Orizzontale (θ = 0°)

Il corpo viene lanciato orizzontalmente da un'altezza h con velocità v₀:

x(t) = v₀·t
y(t) = h − ½·g·t²
t_caduta = √(2h/g)
Gittata: R = v₀·√(2h/g)

📌 Lancio orizzontale = caduta libera + moto rettilineo orizzontale simultanei. Due oggetti lanciati orizzontalmente da stessa altezza toccano terra insieme, indipendentemente da v₀!

📝 Esempio: h=45 m, v₀=10 m/s, g=10 m/s²

t = √(2·45/10) = √9 = 3 s
R = 10·3 = 30 m
v_y(3) = 10·3 = 30 m/s
v_tot = √(10²+30²) = 10√10 ≈ 31.6 m/s

Lancio orizzontale

🔁 Ripasso Rapido — Tutte le Formule

MRU

s = v·t
x(t) = x₀+v·t
a = 0
Grafico s-t: retta

MUA — velocità

v = v₀+a·t
v² = v₀²+2as
v_med = (v₀+v)/2

MUA — spazio

s = v₀t+½at²
Caduta: s=½gt²
t_cad = √(2s/g)

Moto Circolare

ω = 2π/T = 2πf
v = ω·r
aᶜ = v²/r = ω²r

Parabolico

vₓ = v₀cosθ (cost.)
vy = v₀sinθ−gt
R = v₀²sin(2θ)/g

Parabolico — max

Rmax a θ=45°
h_max = v₀²sin²θ/(2g)
T = 2v₀sinθ/g

Costanti

g = 9.81 m/s²
TOLC: g≈10 m/s²
1 m/s = 3.6 km/h

🎯

Moto Rettilineo Uniforme

Moto Uniformemente Accelerato

Moto Circolare

Moto Parabolico (Proiettile)

Esercizi Numerici Stile TOLC-I