Algebra Base

Operazioni con Insiemi

📌 Operazioni Fondamentali

A ∪ B = unione (tutto ciò che è in A o in B)
A ∩ B = intersezione (solo ciò che è in entrambi)
Aᶜ = complemento (ciò che NON è in A)
A \ B = differenza (in A ma non in B)

Leggi di De Morgan — fondamentali al TOLC:

(A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ
(A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ

💡De Morgan: quando neghi, l'unione diventa intersezione e viceversa. Inverte il connettivo.

⚠️Se A ⊆ B → A ∩ B = A e A ∪ B = B. Errore classico: confondere A \ B con B \ A — la differenza non è commutativa!

📝 Esempio: U={1..8}, A={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}

A∪B={1,2,3,4,5,6} | A∩B={3,4}
Aᶜ={5,6,7,8} | A\B={1,2}

📌 Proprietà e Casi Speciali

Proprietà	Formula
Idempotenza	A∪A=A, A∩A=A
Identità	A∪∅=A, A∩U=A
Complemento	A∪Aᶜ=U, A∩Aᶜ=∅
Commutatività	A∪B=B∪A
Associatività	(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
Inclusione	A⊆B ↔ A∩B=A

📌Formula cardinalità: |A∪B| = |A|+|B|−|A∩B|. Essenziale per i problemi numerici con Venn!

Numeri Reali, Razionali, Irrazionali

📌 Gerarchia degli Insiemi Numerici

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Insieme	Elementi	Esempi
ℕ naturali	0,1,2,3...	5, 100
ℤ interi	...−2,−1,0,1,2...	−7, 0
ℚ razionali	p/q, q≠0	1/3, −5/2, 0.75
Irrazionali	non p/q	√2, π, e
ℝ reali	ℚ ∪ irrazionali	tutti i precedenti

⚠️√4=2 è razionale! Non ogni radice è irrazionale. √9=3, √25=5... Solo le radici di numeri non quadrati perfetti sono irrazionali.

💡Razionale + Irrazionale = sempre irrazionale. Irrazionale × Irrazionale può essere razionale: √2·√2=2.

📌 Riconoscere Razionali e Irrazionali

Un numero è razionale se e solo se:

→ ha rappresentazione decimale finita
→ oppure decimale periodica
0.333...=1/3 ✓ | 0.75=3/4 ✓

Un numero è irrazionale se:

→ decimale infinito non periodico
√2=1.41421356... ✗ (non si ripete mai)

Numero	Tipo	Perché
0.666...	ℚ	=2/3, periodico
√25	ℕ⊂ℚ	=5
√7	irraz.	7 non è quadrato
π−π	ℕ	=0
√2+√2	irraz.	=2√2

Valore Assoluto

📌 Definizione e Proprietà

Il valore assoluto è la distanza da 0 — sempre ≥ 0.

|x| = x se x≥0
|x| = −x se x<0

Proprietà chiave:

|a·b| = |a|·|b|
|a/b| = |a|/|b|
|a+b| ≤ |a|+|b| (disuguaglianza triangolare)
√(x²) = |x| ← NON x!

⚠️√(x²) = |x|, non x. Se x=−3: √(9)=3=|−3|, non −3!

📌 Equazioni e Disequazioni

Regola fondamentale:

|A| < k → −k < A < k (intervallo)
|A| > k → A < −k oppure A > k (unione)
|A| = k → A = k oppure A = −k

📝 Esempio equazione: |2x−4|=6

Caso 1: 2x−4=6 → x=5
Caso 2: 2x−4=−6 → x=−1

📝 Esempio disequazione: |x−3|<2

−2 < x−3 < 2 → 1 < x < 5

⚠️|A|<k → interno (intervallo). |A|>k → esterno (unione). Errore classicissimo invertirli!

Potenze con Esponenti Interi e Razionali

📌 Le 6 Regole Fondamentali

Regola	Formula	Esempio
Prodotto	aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ	2³·2⁴=2⁷
Quoziente	aᵐ/aⁿ=aᵐ⁻ⁿ	3⁵/3²=3³
Potenza	(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ	(5²)³=5⁶
Esponente 0	a⁰=1 (a≠0)	7⁰=1
Negativo	a⁻ⁿ=1/aⁿ	2⁻³=1/8
Razionale	aᵖ/ᵍ=ᵍ√(aᵖ)	8²/³=(∛8)²=4

⚠️(a+b)ⁿ ≠ aⁿ+bⁿ — errore gravissimo! (2+3)²=25, non 4+9=13.

⚠️(−2)⁴=+16 ≠ −2⁴=−16. Le parentesi cambiano tutto!

📌 Esponenti Razionali e Calcoli

aᵖ/ᵍ = ᵍ√(aᵖ) = (ᵍ√a)ᵖ

📝 Esempi risolti:

27^(1/3) = ∛27 = 3
16^(3/4) = (⁴√16)³ = 2³ = 8
32^(2/5) = (⁵√32)² = 2² = 4

Confronto potenze — trucco ordine:

2^10 vs 10^3: 1024 vs 1000 → 2^10 > 10^3
Riduci alla stessa base o calcola numericamente

💡Per confrontare aᵐ e bⁿ: porta tutto allo stesso esponente oppure calcola il valore numerico approssimato.

Operazioni con Radicali

📌 Regole Operative

Operazione	Formula	Esempio
Prodotto	√a·√b=√(ab)	√3·√12=√36=6
Quoziente	√a/√b=√(a/b)	√50/√2=√25=5
Semplificazione	√(a²b)=a√b	√12=2√3
Somma	a√c+b√c=(a+b)√c	3√2+5√2=8√2

⚠️√(a+b) ≠ √a+√b. Errore frequentissimo! √(4+9)=√13 ≠ 2+3=5.

⚠️Si sommano radicali solo se hanno lo stesso radicando: 3√2+5√3 non si semplifica.

📌 Razionalizzazione

Tipo 1 — denominatore √a:

1/√3 · √3/√3 = √3/3

Tipo 2 — denominatore a+√b (coniugato):

1/(√5+√2) · (√5−√2)/(√5−√2)
= (√5−√2)/(5−2) = (√5−√2)/3

📌(a+b)(a−b)=a²−b² elimina sempre il radicale dal denominatore.

📝 Semplifica √48+√75−√27:

√48=4√3, √75=5√3, √27=3√3
4√3+5√3−3√3 = 6√3

Logaritmi e Funzioni Esponenziali

📌 Definizione e Proprietà

logₐ(b) = c ↔ aᶜ = b

Condizioni di esistenza: a>0, a≠1, b>0

logₐ(1) = 0 (perché a⁰=1)
logₐ(a) = 1 (perché a¹=a)
logₐ(bᵏ) = k·logₐ(b)
logₐ(b·c) = logₐ(b)+logₐ(c)
logₐ(b/c) = logₐ(b)−logₐ(c)

⚠️log(a+b) ≠ log(a)+log(b). Il log di una somma NON è la somma dei log!

Cambio base: logₐ(b) = log(b)/log(a)
logₐ(b) = 1/logb(a)

📌 Equazioni e Disequazioni Log

Equazione logaritmica:

log₂(x) = 3 → x = 2³ = 8

Disequazione — base >1:

log₂(x) > 3 → x > 8 (verso invariato)

Disequazione — base <1:

log_{1/2}(x) > 3 → x < (1/2)³ (verso si inverte!)

⚠️Con base <1 il logaritmo è decrescente → il verso della disequazione si inverte. Sempre imporre CE: argomento >0!

Grafici:

y=aˣ passa per (0,1)
y=logₐ(x) passa per (1,0)
Simmetrici rispetto a y=x

🔁 Ripasso Rapido

Insiemi

∪=tutto, ∩=comune, ᶜ=non
De Morgan: ∪↔∩ nella negaz.
A⊆B → A∩B=A

Numeri

ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℝ
√4=2 ∈ ℚ
Decimale period.=razionale

Val. Assoluto

|A|<k → intervallo
|A|>k → unione
√(x²) = |x|

Potenze

aᵐ·aⁿ=aᵐ⁺ⁿ
(aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ
aᵖ/ᵍ=ᵍ√aᵖ

Radicali

√a·√b=√(ab)
√(a²b)=a√b
√(a+b)≠√a+√b

Logaritmi

logₐb=c ↔ aᶜ=b
CE: b>0, a>0, a≠1
log(bc)=log b+log c

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Operazioni con Insiemi

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Valore Assoluto

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Operazioni con Radicali

Logaritmi e Funzioni Esponenziali

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